PERSAMAAN BOLA

Persamaan bola merupakan suatu bola (tepatnya kulit bola) yang didefinisikan sebagai kumpulan titik-titik dalam ruang tiga dimensi yang berjarak sama terhadap suatu titik tetap (pusat bola), dapat dinyatakan dengan menggunakan suatu persamaan.

Misalkan bola dengan pusat M (titik asal) dan berjari-jari r, persamaannya diperoleh dengan cara mengambil sebarang titik P (x, y, z) pada bola, sehingga panjang vektor MP  adalah |MP|.

Karena P(x, y, z) sebarang titik pada bola, maka setiap titik (x, y, z) pada pola berlaku 

Oleh karena itu, persamaan bola dengan pusat M dan berjari-jari r adalah

Selanjutnya kita akan mencari persamaan bola dengan jari-jari r dan titik pusat M (a, b, c). kemudian ambil sebarang titik P (x, y, z) pada bola sehingga vektor MP adalah |MP|.

Setelah sudah mendapatkan rumus persamaan bola diatas, kita dapat menuliskan rumus tersebut sebagai berikut:

x² + y² + z² -2ax -2by – 2cz + a² + b² + c² – r² = 0

Dari persamaan di atas apabila:

-2a = A, -2b = B, -2c = C dan  a² + b² + c² – r² = D, maka persamaan dapat ditulis sebagai berikut: 

x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D  = 0

Untuk memudahkan kita menyelesaikan soal, maka gunakan rumus titik pusat dan jari-jari lingkaran sebagai berikut:

Contoh Soal:

1     Tuliskan persamaan bola yang pusatnya di titik (-6, 2, -3 dan jari-jarinya 2.

Penyelesaian:

(x - a)² + (y - b)² + (z – c)² = r²

(x + 6)² + (y -2 )² + (z + 3)² = 2²

x² + 12x + 36 + y² – 4y + 4 +  z² + 6z + 9 = 4

x² + y² + z² + 12x – 4y + 6z + 45 = 0

2.      Tentukan titik pusat dari bola dengan persamaan 3x² + 3y² + 3z² – 6x + 12y – 18z – 6 = 0

Penyelesaian:

-00.07-