Sudut Antara Dua Bidang

Sudut Antara Dua Bidang

Misalkan α adalah bidang A₁x + B₁y + C₁z = D₁, maka vektor normalnya adalah n₁ = <A₁, B₁, C₁>. β adalah A₂x + B₂y + C₂z = D₂, maka vektor normalnya adalah n₂ = <A₂, B₂, C₂>. Sudut antara bidang-bidang α dan β sama dengan sudut antara vektor-vektor normal n₁ dan n₂. Jika  adalah sudut antara bidang-bidang α dan β, maka

Contoh : 

Jika masing-masing dua bidang saling tegak lurus, maka vektor-vektor normalnya saling tegak lurus pula. Sehingga n₁ . n₂ = 0 atau A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0

Jika kedua bidang tersebut sejajar, maka vektor-vektor normalnya sejajar pula. Sehingga n₁ = k.n₂ dengan k suatu skalar.

<A₁, B₁, C₁> = k <A₂, B₂, C₂>

A₁ = k A_2, B₁ = k B₂, dan C₁ = k C₂ atau 

Tetapi jika  = k, maka persamaan A₁x + B₁y + C₁z = D₁ sama dengan persamaan k A₂x + k B₂y + k C₂z = k D₂. Hal ini berarti kedua bidang tersebut berimpitan.

Contoh:

Selidikilah letak bidang-bidang berikut ini dari satu terhadap lainnya.

α = x – 2y + 3z = 4

β = 2x – 4y + 6z = 1

γ = 4x + 5y + 2z = 10

δ = 3x – 6y + 9z = 12

Penyelesaian:

Vektor normal dari bidang-bidang α, β, γ, dan δ berturut-turut adalah

n₁ = <1, -2, 3>

n₂ = <2, -4, 6>

n₃ = <4, 5, 2>

n₄ = <3, -6, 9>

Terlihat di sini bahwa n₂ = 2 <1, -2, 3> = 2n₁ dan n₄ = 3 <1, -2, 3> = 3n₁

n₁, n₂, dan n₄ adalah bidang sejajar, maka α, β, dan δ sejajar. Sedangkan bidang α dan δ berimpitan, karena

n₁ . n₃ = <1, -2, 3> . <4, 5, 2> = 4 – 10 + 6 = 0, maka n₁ dan n₃ saling tegak lurus.

Sehingga α tegak lurus dengan γ, γ tegak lurus dengan β, dan γ tegak lurus dengan δ.

-13 Maret 2019 : 23.10-