Geometri Analitik

Sunday, May 26, 2019

CARA MENGGAMBAR GRAFIK PARABOLA

1. Pahami persamaan parabola.

Persamaan parabola adalah y = ax²+ bx + c. Persamaan ini juga dapat dituliskan y = a(x – h)2 + k. Namun, kita akan menggunakan persamaan yang pertama dalam contoh di sini.

· Jika variabel a dalam persamaan bernilai positif, parabola akan membuka ke atas, seperti huruf "U", dan mempunyai nilai minimal. Jika a bernilai negatif, parabola akan membuka ke bawah dan mempunyai nilai maksimal.

· Sebagai contoh pada persamaan: y = 2x² -1. Parabola ini akan berbentuk seperti huruf "U" karena variabel a bernilai positif, yaitu 2.

2. Cari sumbu simetri parabola.

Ingatlah sumbu simetri ini adalah garis vertikal yang berpotongan dengan titik balik parabola. Koordinat x titik ini sama dengan titik puncak, yang merupakan perpotongan antara sumbu simetri dengan parabola. Untuk mencari sumbu simetri parabola, gunakan persamaan: x = -b/2a

y = 2x² – 1

y = 2x² – 0x – 1

a = 2; b = 0

x = -b / 2a

x = -0 / 4

x = 0

3. Cari titik puncak parabola.

Setelah mendapatkan sumbu simetri parabola, masukkan nilai yang diperoleh dalam persamaan di atas untuk mendapatkan nilai y pasangannya. Titik koordinat yang dihasilkan adalah titik puncak parabola. Maka

y = 2x² – 1

y = 2(0)² – 1

y = -1

(0, -1)

Jadi, titik puncak parabola Anda adalah (0,-1), yang merupakan titik perpotongan parabola dengan sumbu y.

Koordinat titik puncak juga disebut sebagai (h, k). Nilai h adalah 0 dan k adalah -1. Jika persamaan parabola ini dituliskan dalam bentuk y = a(x – h)2 + k, titik puncak parabola adalah (h, k).

4. Hitung nilai koordinat y. Masukkan setiap nilai x ke dalam persamaan parabola dan hitung nilai y pasangannya. Masukkan nilai y yang diperoleh ke dalam tabel. Sesuai contoh, persamaan parabola dihitung sebagai berikut:

· Untuk x = -2, y dihitung sebagai berikut: y = 2 x (-2)² - 1 = 8 - 1 = 7

· Untuk x = -1, y dihitung sebagai berikut: y = 2 x (-1)² - 1 = 2 - 1 = 1

· Untuk x = 0, y dihitung sebagai berikut: y = 2 x (0)² - 1 = 0 - 1 = -1

· Untuk x = 1, y dihitung sebagai berikut: y = 2 x (1)² - 1 = 2 - 1 = 1

· Untuk x = 2, y dihitung sebagai berikut: y = 2 x (2)² - 1 = 8 - 1 = 7

5. Gambarkan titik yang tercantum dalam tabel ke dalam bidang koordinat.

Setiap baris tabel membentuk titik koordinat (x, y) di bidang koordinat. Jadi, gambarlah semua titik koordinat yang tercantum dalam tabel ke bidang koordinat.

· Sumbu x merupakan sumbu horizontal, sedangkan sumbu y merupakan sumbu vertikal.

· Nilai y positif terletak di atas titik (0, 0) dan nilai y negatif terletak di bawah titik (0, 0).

· Nilai x positif terletak di sisi kanan titik (0, 0) dan nilai x negatif terletak di sisi kiri titik (0, 0).

6. Hubungkan titik di bidang koordinat.

Untuk membuat grafik parabola, hubungkan titik-titik yang diperoleh dalam langkah sebelumnya. Grafik dari persamaan contoh akan berbentuk seperti huruf U. Pastikan untuk menghubungkan titik-titik dengan garis lengkung, bukan garis lurus. Dengan begitu, akan diperoleh grafik parabola yang akurat.

UAS PRAKTIKUM GEOMETRI ANALITIK

Laporan Geogebra
https://drive.google.com/file/d/1Ei-oeLN8lWY859Jcf-QisUMUpMRs_SMi/view?usp=sharing

File Geogebra:
1. Soal Kontekstual
https://drive.google.com/file/d/1N3fUYwpUaFkpEg5dlhLSAj8H-mWGDdZe/view?usp=sharing

2. Ellips
https://drive.google.com/file/d/19vTwuAMeSEd9lHKvRJ5ZoIKpPmRPON1_/view?usp=sharing

3. Bola
https://drive.google.com/file/d/1OcCKMCayf7Vei-zksVo0BZIhWfTstYkx/view?usp=sharing

Saturday, May 25, 2019

Persamaan Parabola

Parabola adalah himpunan titik-titik yang berjarak sama dari suatu titik dan suatu garis tertentu.
Berdasarkan definisi di atas, kita dapat melukis parabola sebagai berikut.

Titik tersebut dinamakan fokus (F), dan garis tersebut dinamakan direktrik (d).
Terdapat dua macam bentuk parabola, yakni
1. Parabola horizontal
2. Parabola vertikal.

1. Parabola Horizontal dengan Puncak O(0, 0)

Parabola ini mempunyai bentuk Umum: y2 = 4px,

dimana Koordinat titik fokusnya di F(p, 0)
persamaan direktrisnya x = –p
Sumbu simetrisya adalah sumbu-x
Panjang latus rectum LR = 4p
Dengan catatan:
Jika p > 0 maka kurva membuka ke kanan
Jika p < 0 kurva membuka ke kiri

2. Parabola Vertikal dengan Puncak O(0, 0)

Parabola ini mempunyai bentuk Umum: x2 = 4py

dimana Koordinat titik fokusnya di F(0, p)
Persamaan direktrisnya y = –p
Sumbu simetrisya adalah sumbu-y
Panjang latus rectum LR = 4p
Catatan :
Jika p > 0 maka kurva membuka ke atas
Jika p < 0 kurva membuka ke bawah

3. Parabola Horizontal dengan Puncak M(a, b)

Bentuk Umum : (y – b)2 = 4p(x – a),

dimana Koordinat fokusnya di F(p+ a, b)

Persamaan direktrisnya x = –p + a

Persamaan sumbu simetrisya y = b

Panjang latus rectum LR = 4p

Dengan catatan :

Jika p > 0 maka kurva membuka ke kanan

Jika p < 0 kurva membuka ke kiri

4. Parabola Vertikal dengan Puncak M(a, b)

Parabola ini mempunyai bentuk Umum : (x – a)2 = 4p(y – b),

dimana Koordinat fokusnya di F(a, p + b)

Persamaan direktrisnya y = –p + b

Persamaan sumbu simetrisya x = a

Panjang latus rectum AB = 4p

Dengan cataran

Jika p > 0 maka kurva membuka ke atas

Jika p < 0 kurva membuka ke bawah

Persamaan Ellips

Ellips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu selalu tetap.
Kedua titik tertentu itu dinamakan fokus.

Terdapat dua macam bentuk elips,
yakni
1. Ellips horizontal
2. Ellips vertical.

1. Ellips Horizontal dengan Pusat O(0, 0)

Bentuk Umum:

Dimana a > b.

Unsur-unsurnya :
Koordinat titik puncaknya di A1(a, 0), A2(–a, 0), B1(0, b), dan B2(0, –b)
Panjang sumbu mayor = 2a dan Panjang sumbu minor = 2b
Titik fokus di F1(c, 0) dan F2(–c, 0) dimana c2 = a2 – b2

Nilai eksentrisitasnya

Persamaan garis direktriks dirumuskan:

Panjang Latus rectum:

2. Ellips Vertikal dengan Pusat O(0, 0)

Bentuk Umum:

dimana a < b

Unsur-unsurnya:
Koordinat titik puncaknya di A1(a, 0), A2(–a, 0), B1(0, b), dan B2(0, –b)
Panjang sumbu mayor = 2b dan Panjang sumbu minor = 2a
Titik fokus di F1(0, c) dan F2(0, –c) dimana c2 = b2 – a2
Nilai eksentrisitasnya

Persamaan garis direktriks dirumuskan:

Panjang Latus rectum:

3. Ellips Horizontal dengan Pusat M(p, q)

Bentuk Umum:

Dimana a > b.

Unsur-unsurnya :
Koordinat titik puncaknya di A1(a + p, q), A2(–a + p, q), B1(p, b + q), dan B2(p, –b + q)
Panjang sumbu mayor = 2a dan Panjang sumbu minor = 2b
Titik fokus di F1(c + p, q) dan F2(–c + p, q) dimana c2 = a2 – b2

Nilai eksentrisitasnya

Persamaan garis direktriks dirumuskan:

Panjang Latus rectum:

4. Ellips Vertikal dengan Pusat M(p, q)

Bentuk Umum:

dimana a < b

Unsur-unsurnya:
Koordinat titik puncaknya di A1(a + p, q), A2(–a + p, q), B1(p, b + q), dan B2(p, –b + q)
Panjang sumbu mayor = 2b dan Panjang sumbu minor = 2a
Titik fokus di F1(p, c + q) dan F2(p, –c + q) dimana c2 = b2 – a2

Nilai eksentrisitasnya

Persamaan garis direktriks dirumuskan:

Panjang Latus rectum:

Contoh Soal:

Tentukan koordinat titik puncak, titik fokus, panjang latus rektum, dan persamaan sumbu simetri dari elips

$16x^2+25y^2=400$

Penyelesaian:

$\boxed{\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16} = 1}$
Dari sini, didapat $a = \sqrt{25}=5$ dan $b=\sqrt{16}=4$ .

(Koordinat titik fokus) Karena $a > b$ , maka elips ini termasuk elips horizontal dengan pusat di $(0,0)$ dan puncak di $(\pm a, 0)$ dan $(0, \pm b)$ , yaitu $(5,0), (-5,0), (0,4), (0,-4)$

(Koordinat titik fokus)
Misalkan jarak dari titik pusat ke titik fokus adalah $c$ , maka
$c = \sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{25-16} = 3$
Koordinat titik fokusnya adalah $(\pm c, 0)$ , yaitu $(3,0)$ dan $(-3,0)$ .

(Panjang latus rektum)
Karena elips ini horizontal, maka panjang latus rektumnya menggunakan rumus berikut:
$|LR|= \dfrac{2b^2}{a} =\dfrac{2(4)^2}{5}=\dfrac{32}{5}$

(Persamaan sumbu simetri)
Karena elips ini horizontal dan berpusat di titik asal, maka sumbu simetrinya adalah sumbu $X$ dengan persamaan $y=0$ .

Secara geometris, representasi grafiknya sebagai berikut.