Geometri Analitik : Persamaan Ellips

Ellips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu selalu tetap.
Kedua titik tertentu itu dinamakan fokus.

Terdapat dua macam bentuk elips,
yakni
1. Ellips horizontal
2. Ellips vertical.

1. Ellips Horizontal dengan Pusat O(0, 0)

Bentuk Umum:

Dimana a > b.

Unsur-unsurnya :
Koordinat titik puncaknya di A1(a, 0), A2(–a, 0), B1(0, b), dan B2(0, –b)
Panjang sumbu mayor = 2a dan Panjang sumbu minor = 2b
Titik fokus di F1(c, 0) dan F2(–c, 0) dimana c2 = a2 – b2

Nilai eksentrisitasnya

Persamaan garis direktriks dirumuskan:

Panjang Latus rectum:

2. Ellips Vertikal dengan Pusat O(0, 0)

Bentuk Umum:

dimana a < b

Unsur-unsurnya:
Koordinat titik puncaknya di A1(a, 0), A2(–a, 0), B1(0, b), dan B2(0, –b)
Panjang sumbu mayor = 2b dan Panjang sumbu minor = 2a
Titik fokus di F1(0, c) dan F2(0, –c) dimana c2 = b2 – a2
Nilai eksentrisitasnya

Persamaan garis direktriks dirumuskan:

Panjang Latus rectum:

3. Ellips Horizontal dengan Pusat M(p, q)

Bentuk Umum:

Dimana a > b.

Unsur-unsurnya :
Koordinat titik puncaknya di A1(a + p, q), A2(–a + p, q), B1(p, b + q), dan B2(p, –b + q)
Panjang sumbu mayor = 2a dan Panjang sumbu minor = 2b
Titik fokus di F1(c + p, q) dan F2(–c + p, q) dimana c2 = a2 – b2

Nilai eksentrisitasnya

Persamaan garis direktriks dirumuskan:

Panjang Latus rectum:

4. Ellips Vertikal dengan Pusat M(p, q)

Bentuk Umum:

dimana a < b

Unsur-unsurnya:
Koordinat titik puncaknya di A1(a + p, q), A2(–a + p, q), B1(p, b + q), dan B2(p, –b + q)
Panjang sumbu mayor = 2b dan Panjang sumbu minor = 2a
Titik fokus di F1(p, c + q) dan F2(p, –c + q) dimana c2 = b2 – a2

Nilai eksentrisitasnya

Persamaan garis direktriks dirumuskan:

Panjang Latus rectum:

Contoh Soal:

Tentukan koordinat titik puncak, titik fokus, panjang latus rektum, dan persamaan sumbu simetri dari elips

$16x^2+25y^2=400$

Penyelesaian:

$\boxed{\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16} = 1}$
Dari sini, didapat $a = \sqrt{25}=5$ dan $b=\sqrt{16}=4$ .

(Koordinat titik fokus) Karena $a > b$ , maka elips ini termasuk elips horizontal dengan pusat di $(0,0)$ dan puncak di $(\pm a, 0)$ dan $(0, \pm b)$ , yaitu $(5,0), (-5,0), (0,4), (0,-4)$

(Koordinat titik fokus)
Misalkan jarak dari titik pusat ke titik fokus adalah $c$ , maka
$c = \sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{25-16} = 3$
Koordinat titik fokusnya adalah $(\pm c, 0)$ , yaitu $(3,0)$ dan $(-3,0)$ .

(Panjang latus rektum)
Karena elips ini horizontal, maka panjang latus rektumnya menggunakan rumus berikut:
$|LR|= \dfrac{2b^2}{a} =\dfrac{2(4)^2}{5}=\dfrac{32}{5}$